Question

关于x的方程x³-3x²-a=0有3个不同的实数解，则a的取值范围是    ．

Answer

关于x的方程x3-3x2-a=0有3个不同的实数解⇔函数y=x3-3x2与y=a由三个不同的交点，利用导数先得出函数y=f（x）的单调性并画出图象，进而即可得出答案．
【解析】
由x3-3x2-a=0，得x3-3x2=a．
令f（x）=x3-3x2，解x3-3x2=0，得x1=x2=0，或x3=3，即函数f（x）有一个零点3，和一个二重零点0．
又f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），令f′（x）=0，则x=0或2．列表如下：
由表格可以看出：
函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增．
在x=0时取得极大值，且f（0）=0；在x=2时取得极小值，且f（2）=-4．
综上可画出函数y=f（x）的图象，如下图：
要使函数y=f（x）与y=a由三个不同的交点，则必须满足-4＜x＜0．
此时满足 关于x的方程x3-3x2-a=0有3个不同的实数解．
故答案为（-4，0）．