Question

设函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，对于任意正数x，y都有f（x，y）=f（x）+f（y），且f（2）=1．
（1）求的值；
（2）一个各项均为正数的数列{a_n}满足：f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中是S_n是数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=，即可求的值；
（2）根据f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[an（an+1）]，函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{an}各项为正数，可得Sn=an（an+1），再写一式，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0
令x=2，y=，则f（1）=f（2×）=f（2）+f（）
∵f（2）=1
∴=-1
（2）∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[an（an+1）]
∵函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{an}各项为正数
∴Sn=an（an+1）①
当n=1时，可得a1=1；
当n≥2时，Sn-1=an-1（an-1+1）②
①-②可得an=an（an+1）-=an-1（an-1+1）
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵an＞0，∴an-an-1-1=0
即an-an-1=1
∴数列{an}为等差数列，a1=1，d=1；
∴an=1+（n-1）×1=n
即an=n