Question

已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求b的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对∀t∈R，不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）根据定义域为R的奇函数图象必要原点，将（0，0）代入可得b值；
（2）根据指数函数的单调性，利用分析法，可求出函数f（x）的单调性；
（3）根据（1）（2）的结论，我们可将不等式f（t-t2）+f（t-k）＞0恒成立，转化为k＞2t-t2=-（t-1）2+1在R上恒成立，利用二次函数的性质求出函数的最值，可得k的取值范围．
【解析】
（1）∵定义域为R的函数是奇函数
∴f（0）=0
即b=1
（2），
因为1+2x随x的增大而增大，
所以在R上是减函数．
（3）因为在R上是奇函数
∴不等式f（t-t2）+f（t-k）＞0可化为
f（t-t2）＞f（k-t）
又∵在R上是减函数
t-t2＜k-t
即k＞2t-t2=-（t-1）2+1在R上恒成立，
∴k＞1