Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是    ．

Answer

由题意中f（x-2）=f（2+x），可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，又由函数为偶函数，则可得f（x）在区间（-2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，可将方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为两个函数图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解析】
∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（-2，6]上的图象如下图所示：
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解
则loga4＜3，loga8＞3，
解得：＜a＜2，
即a的取值范围是（，2）；
故答案为（，2）．