Question

已知函数f （x）=e^g（x），g （x）=（e是自然对数的底），
（1）若函数g （x）是（1，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）若对任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求满足条件的最大整数k的值；
（3）证明：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞2n-3 （n∈N*）．

Answer

（1）求出g′（x）的解析式，由g （x）是（1，+∞）上的增函数，可得g′（x）＞0，求得k的取值范围．
（2）由条件得到f （1）＜2，可得k＜2ln2＜3，猜测最大整数k=2，利用导数证明证明对任意x＞0恒成立，得到整数k的最大值为2．
（3）由（2）得到不等式 ，故有 ，故要证的不等式左边＞ =．
【解析】
（1）设，因为g （x）是（1，+∞）上的增函数，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范围为（-1，+∞）．
（2）由条件得到f （1）＜2，猜测最大整数k=2，
现在证明对任意x＞0恒成立．
等价于 ，
设，
故x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
所以对任意的x＞0都有h （x）≥h （2）=ln3+1＞2，即对任意x＞0恒成立，
所以整数k的最大值为2．                  
（3）由（2）得到不等式 ，∴，
ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞＞，
所以原不等式成立．