Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁=f（0），且
①求{a_n}通项公式．
②当a＞1时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

Answer

本题考查的是抽象函数与数列的综合问题．在解答时，对（Ⅰ）可以先利用特值解得f（0），再利用单调性的定义判断函数的单调性即可；对（Ⅱ）因为数列的首项易求，再结合，可知数列的通项公式为an=2n-1从而①即可解答；对②利用等差数列的知识可求的不等式左边的和进而获得最小值从而找到有关x的不等式，最终即可获得解答．
【解析】
（Ⅰ）x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），x＜0时，f（x）＞1
令x=-1，y=0则f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，则f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
故
故x∈Rf（x）＞0
任取x1＜x2f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）f（x2-x1）
∵x2-x1＞0∴0＜f（x2-x1）＜1
∴f（x2）＜f（x1）
故f（x）在R上减函数

（Ⅱ）①
由f（x）单调性知，an+1=an+2故{an}等差数列
∴an=2n-1
②，则
=是递增数列
当n≥2时，
∴
即loga+1x-logax+1＜1⇒loga+1x＜logax
而a＞1，
∴x＞1
故x的取值范围：（1，+∞）