Question

已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设半径为3的两个球的球心分别为A、B，半径为2的两个球的球心分别为C、D，与它们都相切的小球球心为O，半径为r．得如图的四棱锥D-ABCD，其中AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，连接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中点F、G，连接OF、OG．可证出FG是异面直线AB、CD的公垂线段且F、O、G三点共线，算出FG=2，利用OF+OG=FG列出关于r的方程，解之即可得到r的值，即得小球的半径．
【解析】
设半径为3的两个球的球心分别为A、B，半径为2的两个球的球心分别为C、D，
与它们都相切的小球球心为O，半径为r
如图，连接AB、BC、CD、DA、AC、BD，得四棱锥D-ABCD
得AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5
连接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中点F、G，连接OF、OG
∵等腰△ABC中，CA=CB=5，AF=BF=3
∴CF==4，同理可得DF=4
由此可得△CDF中，DF=CF，结合CG=DG，
连接FG，得FG是等腰△CDF底边中线，所以FG⊥CD
同理可得FG⊥AB，所以FG是异面直线AB、CD的公垂线段，
∵OA=OB=3+r，OD=OC=2+r，F、G分别是AB、CD的中点
∴点O在线段FG上，即F、O、G三点共线
∵Rt△AOF中，AF=3，OA=3+r，∴OF==
同理可得：OG=，
∵Rt△CFG中，FG==2
∴OF+OG=FG，即+=2，解之得r=（舍负）
故选：C