Question

已知数列{a_n}  满足a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*，且a₁=2．若b_n=a_n-2n+1，n∈N^*，
（1）求证：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}  的前n项和．

Answer

（1）根据an+1=3an-4n+4，n∈N*得an+1-2（n+1）+1=3an-6n+3，从而bn+1=3bn（n∈N*），根据等比数列的定义可得结论；
（2）先求出数列{an}的通项公式，然后将数列看成由等差数列和等比数列的和，利用分组求和法进行求和，从而可求出所求．
【解析】
（1）由an+1=3an-4n+4，n∈N*得
an+1-2（n+1）+1=3an-6n+3又bn=an-2n+1，n∈N*，
故有bn+1=3bn（n∈N*）则=3（n∈N*）
∴{bn}为等比数列；
（2）∵{bn}为等比数列，且b1=1，公比为3，
∴bn=3n-1
∴an=2n-1+3n-1
数列{an}的前n项和Sn=+=n2+