Question

已知函数f（x）=e^x-x-1
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）≥tx²恒成立，求t的取值范围；
（3）设n∈N^*，求证：．

Answer

（1）f'（x）=ex-1，f（1）=e-2，由此能求出f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）设g（x）=f（x）-tx2（x≥0），则有g（0）=0，即需gmin（x）≥g（0），g'（x）=f'（x）-2tx=ex-2tx-1（x≥0），令h（x）=ex-2tx-1（x≥0），则有h'（x）=ex-2t（x≥0）．由此进行分类讨论，能求出t的取值范围．
（3）当x＞0时，f'（x）=ex-1＞0，f（x）≥0恒成立，故ex≥1+x，由此能够证明．
（1）【解析】
f'（x）=ex-1，
f（1）=e-2，
所以所求切线方程为y-（e-2）=（e-1）（x-1），
即（e-1）x-y-1=0…（2分）
（2）【解析】
设g（x）=f（x）-tx2（x≥0），
则有g（0）=0，
即需gmin（x）≥g（0），
g'（x）=f'（x）-2tx=ex-2tx-1（x≥0），
令h（x）=ex-2tx-1（x≥0），则有h'（x）=ex-2t（x≥0）．
①当t≤0时，h'（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=0，则g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）=0，符合题意．
②若t＞0，则令h'（x）=0，得x=ln2t，
（ⅰ）若 ln2t≤0即时，
h'（x）＞0所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=0，则g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）=0，符合题意．
（ⅱ） ln2t＞0即时，
x∈（0，ln2t），h'（x）＜0，所以h（x）在（0，ln2t）上单调递减，
所以h（x）＜h（0）=0，则g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，ln2t）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，不符合题意，
综上所述：．
（3）证明：当x＞0时，f'（x）=ex-1＞0，
∴f（x）≥0恒成立，∴ex≥1+x，
令x=-（n∈N*，i=1，2，3，4，…，n）
∴＞1-＞0，
e-i＞（）n，
=（）1+（）2+…+（）n＜e-（x-1）+e-（x-2）+…+e-1+e
=＜=＜2．