Question

AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC=θ，PA=AB=2r，求异面直线PB和AC的距离．

Answer

异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值．
【解析】
在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

设MH=x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD．
∴MD2=x2+[（2r-x）sinθ]2=（sin2+1）x2-4rsin2θx+4r2sin2θ=（sin2θ+1）[x-]2+
即当x=时，MD取最小值为两异面直线的距离．
由A、B、C成等差数列，可得B=60°；
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得
tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=（1+）
设tanA、tanC是方程x2-（+3）x+2+=0的两根，解得x1=1，x2=2+
设A＜C，则tanA=1，tanC=2+，∴A=，C=
由此容易得到a=8，b=4，c=4+4．