Question

已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA•tanC=2+，又知顶点C的对边c上的高等于4，求△ABC的三边a、b、c及三内角．

Answer

先求得B=60°，再由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，以及tanA•tanC=2+，求得tanA+tanC的值，从而求得tanA和tanC的值，进而求得A、C的值，由边c上的高等于4求得a，
再由正弦定理求得b、c的值．
【解析】
由A、B、C成等差数列，可得B=60°，
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得 tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=（1+）．
设tanA、tanC是方程x2-（+3）x+2+=0的两根，解得x1=1，x2=2+．
设A＜C，则tanA=1，tanC=2+，∴A=，C=．
∵边c上的高等于4，∴sinB=，∴a=8．
由此利用正弦定理求得b=4，c=4+4．