Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点．
（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．

Answer

（Ⅰ）根据底面ABCD是菱形判断出∠ABC=60°，且四边长相等，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2可推断出PA⊥AB．同样可推断出，PA⊥AD，进而根据直线与面垂直的定义判断出PA⊥平面ABCD．进而根据=判断出、、共面．，进而根据直线与面平行的判定法则，推断出PB∥平面EAC．
（Ⅱ）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．GH⊥AC于H，连接EH，进而可推断出EG⊥平面ABCD．EH⊥AC，进而可知∠EHG即为二面角θ的平面角．进而根据E是PD的中点，从而G是AD的中点，分别求得EG和GH，进而根据求得答案．
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，
在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
因为=
所以、、共面．
又PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC．

（Ⅱ）【解析】
作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，
所以