Question

设a为实数，函数f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．

Answer

先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f'（x）≥0在（-∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．
【解析】
f'（x）=3x2-2ax+（a2-1），其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2．
（ⅰ）若△=12-8a2=0，即a=±，当x∈（-∞，），或x∈（，+∞）时，
f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）为增函数．
所以a=±．
（ⅱ）若△=12-8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）为增函数，
所以a2＞，
即a∈（-∞，-）∪（，+∞）
（ⅲ）若△12-8a2＞0，即-＜a＜，
令f'（x）=0，
解得x1=，x2=．
当x∈（-∞，x1），或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x1≥0且x2≤1．
由x1≥0得a≥，解得1≤a＜
由x2≤1得≤3-a，解得-＜a＜，从而a∈[1，）
综上，a的取值范围为（-∞，-]∪[，+∞）∪[1，），
即a∈（-∞，-]∪[1，∞）．