Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点，D为棱CC₁上任一点．
（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC₁B₁．

Answer

（I）因为E、F分别为A1C1，B1C1的中点，由三角形中位线定理，我们易证明EF∥AB，根据线面平行的判定定理，我们易得直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）由已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，结合线面垂直判定定理，我们易得AB⊥面BCC1B1，再由面面垂直判定定理，即可得到平面ABD⊥平面BCC1B1．
证明：（Ⅰ）因为E、F分别为A1C1，B1C1的中点，所以EF∥A1B1∥AB（4分）
而EF⊄面ABD，AB⊂面ABD，所以直线EF∥平面ABD（7分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1，又AB⊥BC，
而BB1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，且BB1∩BC=B，所以AB⊥面BCC1B1（11分）
又AB⊂面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1（14分）