Question

袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．

Answer

（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7；计算出随机变量X的概率分布进而利用求数学期望的公式得到X的数学期望E（X）；
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则P（C）=． 设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，）．则其服从二项分布，所以所求事件的概率为P（Y≥2）=．
【解析】
（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7．
随机变量X的概率分布为

X 3 4 5 6 7
P

因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×+5×=5．
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=++=． 
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，）
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C41××（）3-C4×（）4=．