Question

已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．O

Answer

由题设知必存在唯一的正实数a，满足，f（a）=3，，故3+，，，左增，右减，有唯一解a=2，故，由此能够导出方程f（x）=2+的解的个数是2．
【解析】
∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），
满足f[f（x）+]=3，f（x）=2+，
∴必存在唯一的正实数a，
满足，f（a）=3，①
∴，②
由①②得：3+，
，
，左增，右减，有唯一解a=2，
故，
f（x）=2-，
由2-=2+，得，
∴，
令，则t2=2t，
此方程只有两个正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+的解的个数是2．
故选B．