Question

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥3）具有性质P；对任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0，2，4，6具有性质P；
②若数列A具有性质P，则a₁=0；
③若数列A具有性质P且a₁≠0a_n-a_n-k=a_k（k=1，2，…，（n-1）；
④若数列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性质P，则a₃=a₁+a₂
其中真命题有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

根据数列：a1，a2，…an（0≤a1＜a2…＜an），n≥3时具有性质P，对任意i，j（1≤i＜j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知②错误，其余都正确．
【解析】
①数列0，2，4，6中，aj+ai与aj-ai（1≤i＜j≤3）两数中都是该数列中的项，
并且a4-a3=2是该数列中的项，故①正确；
②由题设知：1，2，3具有性质P，但a1=1≠0；故②不正确；
③若数列A具有性质P，且a1≠0，
则an+an-k和an-an-k中至少有一个是该数列中的一项，
∵an+an-k不一定是该数列中的项，
∴an-an-k（k=1，2，…，n-1）一定在该数列中，
∴an-an-k=ak；故③正确．
④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3，
∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项，
1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，
∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项
∴a3-a2=a2，∴a1+a3=2a2．
2°若a3-a1是该数列中的一项，则a3-a1=a1或a2或a3，
i若a3-a1=a3同1°，
ii若a3-a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，
iiia3-a1=a1，则a3=2a1，
综上a1+a3=2a2．故④正确．
故选B．