Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和为S_n=λa_n-1（λ，为常数，n=1，2，3…）．
（1）若，求λ的值；
（2）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（3）当λ=2量，若数列{c_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且，令，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由Sn=λan-1，知，，，再由，能求出λ的值．
（2）假设存在实数λ，使得数列{an}是等差数列，则2a2=a1+a3，故，由此能够推导出不存在实数λ，使得数列{an}是等差数列．
（3）当λ=2时，Sn=2an-1，故Sn-1=2an-1-1，n≥2，且a1=1，所以，n∈N*．由bn+1=an+bn（n=1，2，3，…），且，导出，n∈N*，所以=2（），由此利用裂项求和法能求出数列{an}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵Sn=λan-1，
∴a1=λa1-1，
a2+a1=λa2-1，
a3+a2+a1=λa3-1，
由a1=λa1-1，得λ≠1，
∴，，，
∴，∴，
∴λ=0，或λ=2．
（2）假设存在实数λ，使得数列{an}是等差数列，
则2a2=a1+a3，
由（1）得，
∴，解得1=0，不成立，
∴不存在实数λ，使得数列{an}是等差数列．
（3）当λ=2时，Sn=2an-1，
∴Sn-1=2an-1-1，n≥2，且a1=1，
∴an=2an-2an-1，即an=2an-1，n≥2，
∴，n∈N*．
∵bn+1=an+bn（n=1，2，3，…），且，
∴bn=an-1+bn-1
=an-1+an-2+bn-2
=…=an-1+an-2+…+a1+b1
=
=，n≥2
当n=1时，上式仍然成立，
∴，n∈N*，
∵，
∴
=．
=2（），
∴Tn=c1+c2+…+cn
=2（
=1-
=．