Question

已知函数的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＞0时，f（x）＞0．
（I）试判断并证明f（x）的奇偶性；
（II）试判断并证明f（x）的单调性；
（III）若均成立，求实数m 的取值范围．

Answer

（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x1=x，x2=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
（II）在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，再比较f（x1）和f（x2）的大小，从而得出：f（x）是增函数；
（III）根据f（x）为R上的增函数也是奇函数，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0对所有的θ均成立可转化成cos2θ-3＞2mcosθ-4m对所有的均成立，然后利用分离法即可求出实数m的取值范围．对于任意x1，x2∈R，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．令x1=x2=1，可求f（1）；再赋值可求f（-1）=0，进而可求f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）为偶函数；
【解析】
（I）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
再令x1=x，x2=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为R上的奇函数．
（II）设x1＜x2，则x2-x1＞0，当x＞0时f（x）＞0．∴f（x2-x1）＞0
由f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）为R上的增函数．
（III）∵f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）
∵f（x）为R上的奇函数，，即f（-x）=-f（x），∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）
又∵f（x）为R上的增函数，cos2θ-3＞2mcosθ-4m对所有的均成立，2cos2θ-4＞2m（cosθ-2）恒成立，
又∵cosθ-2＜0，
∴恒成立，
又∵，又，
∴0≤cosθ≤1，∴cosθ-2＜0，
∴
当且仅当即时取等号．
∴
∴．