Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，，E是PB上任意一点．
（I）求证：AC⊥DE；
（II）已知二面角A-PB-D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer

（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC⊥平面PBD；
（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为，平面PAB的法向量为，根据二面角A-PB-D的余弦值为，可求t的值，从而可得P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角．
（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴PD⊥AC
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD
∴AC⊥DE…（6分）
（II）【解析】
分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则
由（I）知：平面PBD的法向量为，
令平面PAB的法向量为，则根据得∴
因为二面角A-PB-D的余弦值为，则，即，∴…（9分）
∴
设EC与平面PAB所成的角为θ，
∵，
∴…（12分）