Question

数列{a_n}满足，（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：；
（III）证明：．

Answer

（I）利用数列递推式，计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法证明；
（II）证明当x＞0时，ln（1+x）＜x，令得，即，从而可得，由此可证得结论；
（III）由柯西不等式，要证，即证 ，即证：，构建函数，证明当x＞0时，，取得，由此可证得结论．
（I）【解析】
由得，猜想：
下面用数学归纳法证明猜想：成立．
（ⅰ）当n=1时，，猜想成立；
（ⅱ）假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即；
那么当n=k+1时，，从而n=k+1时猜想成立．
综合（ⅰ），（ⅱ）知：猜想成立．即数列的通项公式为．
（II）证明：当x＞0时，构造函数g（x）=ln（1+x）-x，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调减
∴g（x）＜g（0），∴ln（1+x）＜x；
所以令得，即，
∴，于是，
从而 
∴
（III）证明：由柯西不等式得：
所以要证
即证 ，也就是需证：，
即证：；
因为函数的导函数
当x＞0时，f′（x）＞0，所以当x＞0时，，
取得
∴，所以 ．
∴