Question

已知向量=（sinx，-1），=（cosx，3）．
（I ）当∥时，求的值；
（II）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c=2asin（A+B），函数f（x）=（+）•，求f（B+）的取值范围．

Answer

（I）由∥，可得tanx=-，再由=，运算求得结果．
（II）在△ABC中，由 c=2asin（A+B）利用正弦定理求得sinA=，可解得 A=．由△ABC为锐角三角形，得＜B＜，利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）=
  sin（2x-）-．由此可得f（B+）=sin2B-，再根据B的范围求出sin2B的范围，即可求得f（B+）的取值范围．
【解析】
（I）由∥，可得3sinx=-cosx，于是tanx=-．
∴===-．   
（II）∵在△ABC中，A+B=π-C，于是sin（A+B）=sinC，
由 c=2asin（A+B）利用正弦定理得：sinC=2sinAsinC，
∴sinA=，可解得 A=． …（6分）
又△ABC为锐角三角形，于是 ＜B＜，
∵函数f（x）=（+）•=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）
=sin2x+sinxcosx-2=+-2= sin（2x-）-．
∴f（B+）=sin[2（B+）-]-=sin2B-．…（10分）
由 ＜B＜ 得＜2B＜π，
∴0＜sin2B≤1，得-＜sin2B-≤-，即 f（B+）的取值范围 （-，-]．