Question

某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．
（I）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II）求游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率．

Answer

设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
（I）“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B+A2B1+A2B，利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率；
（II）“游戏A、B被闯关成功的总人数为3”为A2B1+A1B2，利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式可求
游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率．
【解析】
设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
（I）“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B+A2B1+A2B．
∴P（A1B+A2B1+A2B）=P（A1B）+P（A2B1）+P（A2B）
=P（A1）•P（B）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B）
=++=
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为．  …（6分）
（II）“游戏A、B被闯关成功的总人数为3”为A2B1+A1B2．
∴P（A2B1+A1B2）=P（A2B1）+P（A1B2）=P（A2）•P（B1）+P（A1）•P（B2）
=+=．
即游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率为．   …（12分）