Question

正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（I）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（II）求二面角D₁-A₁E-D的大小；
（III）求多面体A₁D₁DBE的体积．

Answer

（I）证明BD1∥面A1DE，利用线面平行的判定定理，连接AD1交A1D于F，，利用三角形的中位线的性质，证明EF∥BD1即可；
（II）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面A1DE的一个法向量、面D1A1E的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（III）利用分割法，多面体A1D1DBE的体积=，由此可求体积．
（I）证明：连接AD1交A1D于F，则F为中点，
连接EF，如图．
∵E为中点，∴EF∥BD1．
又EF⊂面A1DE，BD1⊄面A1DE，
∴BD1∥面A1DE
（II）【解析】
由面ABCD⊥面ADD1A1，且四边形ADD1A1为正方形，四边形ABCD为矩形，得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴D（0，0，0）、D1（0，0，1）、A1（1，0，1）、E（1，1，0），
∴、、、．
设面A1DE的一个法向量为=（x1，y1，1），面D1A1E的一个法向量为=（x2，y2，1），
则，，即，
解得：=（-1，1，1），=（0，1，1）．
设D1-A1E-D的大小为θ，于是cosθ==，
∴θ=arccos，即二面角D1-A1E-D的大小为arccos．
（III）【解析】
多面体A1D1DBE的体积==-
==．