Question

已知f^-1（x）为函数f（x）=（x≠-1）的反函数，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，且f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N^*）．
（I）求证：数列{}是等差数列；
（II）已知数列{b_n}满足b_n=||，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer

（Ⅰ）先由函数f（x），求得反函数，再由f-1（Sn+1）=Sn求得数列{}是以1为公差，首项为1的等差数列，由等差数列的定义得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可计算得Sn从而计算得到Tn=2+1×22+2×23+3×24+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n，最后由错位相消法求和．
证明：（I）函数f（x）的反函数为f-1（x）=（x≠1）．
∵f-1（Sn+1）=Sn（n∈N*），
∴Sn=，即，
∴数列{}是以1为公差，首项为1的等差数列．…（4分）
（II）由（I）知，，即Sn=．
∴当n=1时，an=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1==-，
即an= …（6分）
由题意得bn=…（7分）
∴当n=1时，Tn=T1=b1=2．
当n≥2时，
Tn=2+1×22+2×23+3×24+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n，
2Tn=22+1×23+2×24+…+（n-2）•2n+（n-1）•2n+1，
∴Tn-2Tn=2+23+24+…+2n-（n-1）•2n+1
=2+，
即-Tn=（2-n）•2n+1-6，
∴Tn=（n-2）•2n+1+6，
经验证n=1时，T1的值也符合此公式，
∴对n∈N*，Tn=（n-2）•2n+1+6．  …（12分）