Question

在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c．已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．
（I）求顶点A的轨迹方程；
（II）设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足|+|=|-|，求l的方程．

Answer

（I）根据B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列，可得b+c=4，即|AC|+|AB|=4，由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），从而可得椭圆的方程；
（II）由|+|=|-|，可得•=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0，分类讨论：①直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理利用韦达定理，可求k的值，从而可得直线的方程；②当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-1，M（-1，），N（-1，-），•≠0，从而可得结论．
【解析】
（I）由题知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，
于是短半轴长为．
∴顶点A的轨迹方程为．    …（4分）
（II）∵|+|=|-|，
∴|+|2=|-|2，展开得•=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），于是=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），
∴（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=0，即（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，
整理得  x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0． （*）…（6分）
①直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
则x1+x2=，x1x2=．
由（*）式得x1x2-（x1+x2）+1+k2（x1+1）（x2+1）=0，
即（1+k2）x1x2+（k2-1）（x1+x2）+k2+1=0，
∴（1+k2）×+（k2-1）×+k2+1=0，
整理得=0，解得k=±．
∴直线l的方程为y=x+，或y=-x-．…（10分）
②当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-1，M（-1，），N（-1，-），
∴•=（-2，）•（-2，-）=4-3=1≠0，∴不满足题意．
综上所述，直线l的方程为y=x+，或y=-x-．…（12分）