Question

某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．
（I ）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（II） 记游戏A、B被闯关成功的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer

（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B+A2B1+A2B，利用互斥事件概率公式，可求得结论；
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列和期望．
【解析】
（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai（i=0，1，2），“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj（j=0，1，2），
则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B+A2B1+A2B．
∴P（A1B+A2B1+A2B）=P（A1B）+P（A2B1）+P（A2B）=P（A1）•P（B）+P（A2）•P（B1）+P（A2）•P（B）
=++=．
即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为．…（4分）
（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=
P（ξ=2）=++=
P（ξ=3）=+=
P（ξ=4）=．
∴ξ的分布列为：

ξ 1 2 3 4
P

…（10分）
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．        …（12分）