Question

如图，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点
（I）当点E为AB的中点时，求证；BD₁∥平面A₁DE；
（II）求点A₁到平面BDD₁的距离；
（III）当=时，求二面角D₁-EC-D的大小．

Answer

（I）由中位线定理可得EF∥BD1，再由线面平行的判定定理可得BD1∥平面A1DE；
（II）解法一：利用=，可求A1到面BDD1的距离；解法二：建立空间直角坐标系，求得=（0，2，-1），面BDD1的一个法向量为，从而可求点A1到面BDD1的距离；
（III）连接EC，过D作DH⊥EC于H，连接D1H，证明∠DHD1为D1-EC-D的平面角，即可求二面角D1-EC-D的大小；
解法二：确定面D1EC的一个法向量，面DEC的一个法向量是=（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（I）证明：连接AD1交A1D于F，则F为中点，连接EF，如图．
∵E为中点，∴EF∥BD1．
又EF⊂面A1DE，BD1⊄面A1DE，
∴BD1∥面A1DE．…（3分）
（II）解法一：在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=，
∴==，==，
设A1到面BDD1的距离为d，则由=有
，解得d=，
即A1到面BDD1的距离为．…（8分）
解法二：由面ABCD⊥面ADD1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．
于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由AB=2AD=2知：D（0，0，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B（1，2，0），
∴=（1，2，0），=（0，0，1），=（0，2，-1）．
设面BDD1的一个法向量为，
则，即，∴．
∴点A1到面BDD1的距离d==．   …（8分）
（III）解法一：连接EC．
由，有AE=，EB=，
过D作DH⊥EC于H，连接D1H，由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD，∴DD1⊥面ABCD．
由三垂线定理知：D1H⊥EC，∴∠DHD1为D1-EC-D的平面角．
Rt△EBC中，由EB=，BC=1，得EC=．
又DH•EC=DC•BC，代入解得DH=，
∴在Rt△DHD1中，tan∠DHD1=．
∴∠DHD1=arctan，即二面角D1-EC-D的大小为arctan．…（12分）
解法二：由（II）及题意知：E（1，，0），C（0，2，0），=（1，，-1），=（-1，，0）．
设面D1EC的一个法向量为，
则，即可得．
又面DEC的一个法向量是=（0，0，1），
设D1-EC-D的大小为θ，则cosθ==，得θ=arccos．
即D1-EC-D的大小为arccos．（12分）