Question

已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，对于n∈N^*，总有成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（II）设数列{}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N^*时，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）对任意n≥2，n∈N^*，试比较与2+的大小．

Answer

（I）由题意，成等差数列，可得（n∈N*），再写一式，两式相减，整理可得an+1-an=1，即{an}为公差为1的等差数列，再确定数列的首项．即可求得数列{an}的通项an；
（II），当n≥2时，Rn-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1=n（）-n，即可证得结论；
（III）先证明，再证明当k≥2时，＜，利用叠加法，即可求得结论．
（I）【解析】
由题意，成等差数列，∴（n∈N*）．
于是，
两式相减，得，
即an+1+an=（an+1+an）（an+1-an），
由题，an＞0，an+1+an≠0，
得an+1-an=1，即{an}为公差为1的等差数列．
又由，得a1=1或a1=0（舍去）．
∴an=1+（n-1）•1=n （n∈N*）．…（5分）
（II）证明：由（I）知，于是，
于是当n≥2时，Rn-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1
=n（）-n=n（Tn-1）．…（10分）
（III）【解析】
由（I）知，．
∵，∴，
当k≥2时，＜=，
∴＜1+（1-）+（）+…+（）=2+．
即较＜2+．    …（14分）