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已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项和,对于n∈N*,总有成等差数列. ...

已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项和,对于n∈N*,总有manfen5.com 满分网成等差数列.
(I)求数列{an}的通项an
(II)设数列{manfen5.com 满分网}的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为Rn,求证:当n≥2,n∈N*时,Rn-1=n(Tn-1);
(III)对任意n≥2,n∈N*,试比较manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网与2+manfen5.com 满分网的大小.
(I)由题意,成等差数列,可得(n∈N*),再写一式,两式相减,整理可得an+1-an=1,即{an}为公差为1的等差数列,再确定数列的首项.即可求得数列{an}的通项an; (II),当n≥2时,Rn-1=1+(1+)+…+()=n-1++-1=n()-n,即可证得结论; (III)先证明,再证明当k≥2时,<,利用叠加法,即可求得结论. (I)【解析】 由题意,成等差数列,∴(n∈N*). 于是, 两式相减,得, 即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an), 由题,an>0,an+1+an≠0, 得an+1-an=1,即{an}为公差为1的等差数列. 又由,得a1=1或a1=0(舍去). ∴an=1+(n-1)•1=n (n∈N*).…(5分) (II)证明:由(I)知,于是, 于是当n≥2时,Rn-1=1+(1+)+…+()=n-1++-1 =n()-n=n(Tn-1).…(10分) (III)【解析】 由(I)知,. ∵,∴, 当k≥2时,<=, ∴<1+(1-)+()+…+()=2+. 即较<2+.    …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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