Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2n（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer

（I）根据an=Sn-Sn-1可得an=2an-1，然后求出首项，根据等比数列的定义可判定数列{an}是等比数列；
（II）先求出数列{an}的通项公式，从而得到数列{bn}的通项，然后根据通项的特征可知利用分组求和法进行求和即可．
（Ⅰ）证明：因为Sn=2an-3（n=1，2，…）．，则Sn-1=2an-1-3（n=2，3，…）．…（1分）
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，…（3分）
整理得an=2an-1．            …（4分）
由Sn=2an-3，令n=1，得S1=2a1-3，解得a1=3．…（5分）
所以{an}是首项为3，公比为2的等比数列．    …（6分）
（Ⅱ）【解析】
因为，…（7分）
由bn=an+2n（n=1，2，…），得．
所以…（9分）
=…（11分）
=3•2n+n2+n-3
所以．   …（12分）