Question

已知函数f（x）=x³+ax²+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）-2是奇函数．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）先利用奇函数的定义g（-x）=-g（x）求出a，c的值；
（2）求导数令其为0，判断根左右两边的符号，求出函数的单调性．注意对参数的讨论．
【解析】
（Ⅰ）因为函数g（x）=f（x）-2为奇函数，
所以，对任意的x∈R，都有g（-x）=-g（x），即f（-x）-2=-f（x）+2．
又f（x）=x3+ax2+3bx+c
所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2．
所以
解得a=0，c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3+3bx+2．
所以f'（x）=3x2+3b（b≠0）．
当b＜0时，由f'（x）=0得．x变化时，f'（x）的变化情况如下：
，时f′（x）＞0
，时f′（x）＜0
，时f′（x）＞0
所以，当b＜0时，函数f（x）在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增．
当b＞0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．