Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₂=3，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列且满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24．设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（1）本题是对数列的基本量的考查，根据所给的数列的一项和前六项的和，用求和公式，得到它的另一项，算出公差和首项，写出通项公式．
（2）根据所给的等比数列的两个等式，得到等比数列的首项和公比，写出通项，题目要求的是两个数列的积的形式的前n项和，并且一个数列是等比，一个是等差，采用错位相减法．
【解析】
（1）∵数列{an}是等差数列，
∴S6=3（a1+a6）=3（a2+a5）=36．
∵a2=3，∴a5=9，∴3d=a5-a2=6，∴d=2，
又∵a1=a2-d=1，∴an=2n-1．
（2）由等比数列{bn}满足b1+b2=3，b4+b5=24，
得=q3=8，∴q=2，
∵b1+b2=3，∴b1+b1q=3，∴b1=1，bn=2n-1，
∴an•bn=（2n-1）•2n-1．
∴Tn=1×1+3×2+5×22+…+（2n-3）•2n-2+（2n-1）•2n-1，
则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n，
两式相减得（1-2）Tn=1×1+2×2+2×22++2•2n-2+2•2n-1-（2n-1）•2n，即
-Tn=1+2（21+22++22n-1）-（2n-1）•2n
=1+2（2n-2）-（2n-1）•2n=（3-2n）•2n-3，
∴Tn=（2n-3）•2n+3．