如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，...

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，且受地理条件限制，|AN|长不超过8米，设AN=x．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若|AN|∈[3，4）（单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

（1）求出矩形的长与宽，求得矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得AN的取值范围；（2）求导数，确定函数在[3，4）上为单调递减函数，即可求得面积的最大值．【解析】（1）设AN的长为x米（2＜x≤8） ∵，∴AM= ∴SAMPN=AN•AM= 由SAMPN＞32得＞32 ∵x＞2，∴3x2-32x+64＞0 ∴2＜x＜或x＞8 ∵2＜x≤8 ∴2＜x＜，即AN的长的取值范围为（2，）；（2）令，则 ∵x∈[3，4），∴y′＜0，∴函数在[3，4）上为单调递减函数 ∴当x=3时，取得最大值，即矩形花坛AMPN的面积最大为27m2，此时AN=3m，AM=9m．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等