Question

函数f（x）=-x³+3x²，设g（x）=6lnx-f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），若曲线y=g（x）在不同两点A（x₁，g（x₁））、B（x₂，g（x₂））处的切线互相平行，且恒成立，求实数m的最大值．

Answer

根据曲线y=g（x）在不同两点A（x1，g（x1））、B（x2，g（x2））处的切线互相平行得到有g′（x1）=g′（x2）且x1≠x2，可求出x1x2的值，然后利用函数的单调性研究的最小值，从而可求出m的取值范围，求出所求．
【解析】
∵f′（x）=-3x2+6x，∴g（x）=6lnx-f′（x）=6lnx+3x2-6x
∴g′（x）=+6x-6
依题意有g′（x1）=g′（x2）且x1≠x2，
即+6x1-6=+6x2-6
∴x1x2=1
∴==
=3（x1+x2）--6
令x1+x2=t，则t＞2，∵φ（t）=3t--6在（2，+∞）上单调递增
∴φ（t）＞φ（2）=-3
∴＞-3
∴m≤-3
∴实数m的最大值为-3．