Question

已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（x∈R），a为实数．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（x）在闭区间[-1，1]上为减函数，求a的取值范围．

Answer

（I）先利用导数的四则运算求函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0即可得函数的单调增区间；
（II）先利用导数的四则运算求函数f（x）的导函数f′（x），再将f（x）在闭区间[-1，1]上为减函数问题转化为导函数f′（x）≤0在闭区间[-1，1]上恒成立问题，进而利用二次函数的图象和性质得a的范围
【解析】
（I）当a=0时，f（x）=x2ex
f′（x）=2xex+x2ex=（x2+2x）ex，
由f′（x）＞0⇒x＞0或x＜-2
故f（x）单调增区间为（0，+∞）和（-∞，-2）
（II）由f（x）=（x2-ax）ex，x∈R
得f′（x）=（2x-a）ex+（x2-ax）ex=[x2+（2-a）x-a]ex
记g（x）=x2+（2-a）x-a，
依题x∈[-1，1]时，g（x）≤0恒成立，结合g（x）的图象特征
得即，
∴a的取值范围．