Question

已知直线y=-x+1与椭圆（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F₁，求△ABF₁的面积．

Answer

（1）根据椭圆的离心率为，焦距为2，建立方程，求得几何量，从而可得椭圆方程，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，可求线段AB的长；
（2）求出点F1到直线AB的距离，即可求△ABF1的面积．
【解析】
（1）∵椭圆的离心率为，焦距为2，
∴
∴c=1，a=
∴，
∴椭圆的方程为．
直线y=-x+1与椭圆方程联立，消去y可得：5x2-6x-3=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-
∴|AB|=|x1-x2|=×=；
（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F1（-1，0），直线AB的方程为x+y-1=0，
所以点F1到直线AB的距离d==，
又|AB|=，
∴△ABF1的面积S=|AB|•d==．