Question

已知椭圆E的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P在椭圆E上，且满足=t，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）解法一：设椭圆E的方程为（a＞b＞0），由半焦距c=1，a2-b2=1，点C（1，）在椭圆E上，得到．求出a2，b2，推出椭圆E的方程． 
解法二：设椭圆E的方程为（a＞b＞0），通过点C（1，）在椭圆E上，利用2a=|CF1|+|CF2|，求出a=2．由已知半焦距c=1，求出b2．然后求出椭圆E的方程． 
（Ⅱ）设P（x，y），由=t，推出x2+y2=t+1．点P在曲线C上，，得y2=t+1-x2，然后求出0≤x2≤4，解出2≤t≤3．得到实数t的取值范围．
（本小题满分14分）
（Ⅰ）解法一：依题意，设椭圆E的方程为（a＞b＞0），
由已知半焦距c=1，∴a2-b2=1．                      ①…（2分）
∵点C（1，）在椭圆E上，则．                ②…（4分）
由①、②解得，a2=4，b2=3．
∴椭圆E的方程为．                                      …（6分）
解法二：依题意，设椭圆E的方程为（a＞b＞0），
∵点C（1，）在椭圆E上，∴2a=|CF1|+|CF2|，即a=2．         …（3分）
由已知半焦距c=1，∴b2=a2-c2=3．                              …（5分）
∴椭圆E的方程为．                                      …（6分）
（Ⅱ）设P（x，y），由=t，得
（-1-x．-y）•（1-x，-y）=t，
即x2+y2=t+1．                                  ③…（8分）
∵点P在曲线C上，
∴．                                    ④
由③得y2=t+1-x2，代入④，并整理得
x2=4（t-2）．                                    ⑤…（10分）
由④知，0≤x2≤4，⑥…（12分）
结合⑤、⑥，解得：2≤t≤3．
∴实数t的取值范围为[2，3]．                                     …（14分）