Question

（1）设a₁，a₂，…，a_n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列
（i）当n=4时，求的数值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：存在一个各项及公差均不为零的n（n≥4）项等差数列，任意删去其中的k项（1≤k≤n-3），都不能使剩下的项（按原来的顺序）构成等比数列．

Answer

（1）（i）当n=4时，数列的公差d≠0，删去的项只可能为a2或a3．分别讨论推出数列的情况，然后求解的值．
（ii）当n≥6时，从数列中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，数列的公差必为0，这与题设矛盾．推出数列的项数n≤5．然后讨论当n=4，n=5时，满足题设的数列项数即可．
（2）首先找出一个等差数列b1，b2，…，bn（n≥4）的首项b1与公差d'的比值为无理数，则此等差数列满足题设要求．假设删去等差数列b1，b2，…，bn（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）项后，新数列构成等比数列，说明新数列中的连续三项为不满足题意，然后推出首项，公差d′=1．相应的等差数列是一个满足题设要求的数列．
【解析】
首先证明一个“基本事实”
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d=0．
事实上，设这个数列中的连续三项a-d，a，a+d成等比数列，则a2=（a-d）（a+d），由此得，故d=0．
（1）（i）当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实“推知，删去的项只可能为a2或a3．
①若删去a2，则由a1，a3，a4成等比数列，得．
因d≠0，故由上式得a1=-4d，即．此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设．
②若删去a3，则a1，a2，a4由成等比数列，得．
因d≠0，故由上式得a1=d，即．此时数列为d，2d，3d，4d满足题设．
综上可知的值为-4或1．
（ii）当n≥6时，则从满足题设的数列a1，a2，a3，…，an中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1，a2，a3，…，an的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数n≤5．
又因题设n≥4，故n=4或n=5．
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列．
当n=5时，若存在满足题设的数列a1，a2，a3，a4，a5则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从a1，a2，a4，a5而成等比数列，故，
及．分别化简上述两个等式，得及，
故d=0．矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列．  综上可知，n只能为4．
（2）我们证明：若一个等差数列b1，b2，…，bn（n≥4）的首项b1与公差d'的比值为无理数，
则此等差数列满足题设要求．
证明如下：
假设删去等差数列b1，b2，…，bn（n≥4）中的k（1≤k≤n-3）项后，
得到的新数列（按原来的顺序）构成等比数列，
设此新数列中的连续三项为b1+m1d'，b1+m2d'，b1+m3d'（0≤m1＜m2＜m3≤n-1），于是有，化简得…（*）
由知，与m1+m3-2m2同时为零或同时不为零．
若m1+m3-2m2=0，且，则有，
即，得m1=m3，从而m1=m2=m3，矛盾．
因此，m1+m3-2m2与都不为零，故由（*）式得…（**）
因为m1，m2，m3均为非负整数，所以（**）式右边是有理数，
而是一个无理数，所以（**）式不成立．这就证明了上述结果．
因是一个无理数．因此，取首项，公差d′=1．
则相应的等差数列是一个满足题设要求的数列．