Question

已知函数f（x）=（-ax²-2x+a）•e^x，（a∈R）．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[-1，1]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=-2代入f（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）在[-1，1]上单调递减，即f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，对a进行分类讨论即可解出a的取值范围．
【解析】
（1）a=-2时，f（x）=（2x2-2x-2）•ex，定义域为R．
f′（x）=）=（2x2-2x-2）•ex+（4x-2）•ex=2（x-1）（x+2）•ex．
由f′（x）＞0得x＜-2或x＞1，由f′（x）＜0，得-2＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（1，+∞），单调递减区间为（-2，-1）．
（2）f′（x）=（-ax2-2x+a）•ex+（-2ax-2）•ex=-[ax2+2（a+1）x+2-a]•ex．
令g（x）=-ax2-2（a+1）x+a-2．
①当a=0时，g（x）=-2x-2，在（-1，1）内g（x）＜0，f′（x）＜0，
函数f（x）在[-1，1]上单调递减．
②当a＞0时，g（x）=-ax2-2（a+1）x+a-2是二次函数，其对称轴为x=-1-＜-1，
当且仅当g（-1）≤0，即a≤0时，f′（x）≤0，此时无解．
③当a＜0时，g（x）=-ax2-2（a+1）x+a-2是二次函数，
当且仅当即．∴-2≤a＜0时，f′（x）≤0，
此时函数f（x）在[-1，1]上单调递减．
综上，实数a的取值范围是[-2，0]．