Question

某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165]，第2组[165，170]，第3组[170，175]，第4组[175，180），第5组[180，185），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少学生进入第二轮面试？
（2）在（1）的前提下，高校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．
（3）根据频率直方图，求笔试成绩的中位数．

Answer

（1）求出第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，得到第3、4、5组分别抽取的人数．
（2）设在这6名学生中随机抽取2名学生的事件接受甲考官的面试事件A，第4组至少有一名学生被甲考官面试为事件B，事件A包含的基本事件数为，事件B包含的基本事件数为，由此能求出第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．
（3）第一、二两组的频率和为0.4，第三组的频率为0.3，所以中位数落在第三组，由此能求出笔试成绩的中位数．
【解析】
（1）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10．…（2分）
因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生（3分）
每组抽取的人数分别为第3组：=3，
第4组：×6=2，第5组：，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…（5分）
（2）设在这6名学生中随机抽取2名学生的事件接受甲考官的面试事件A，
第4组至少有一名学生被甲考官面试为事件B，…（6分）
事件A包含的基本事件数为…（7分）
事件B包含的基本事件数为…（8分）
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为
p===．…（10分）
（3）第一、二两组的频率和为0.4，
第三组的频率为0.3，
所以中位数落在第三组．（11分）
设中位数距离170为x，则，解得…（13分）
故笔试成绩的中位数为．（取近似值不扣分）…（14分）