Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且-1，S_n，a_n+1成等差数列，n∈N^*，a₁=1．函数f（x）=log₃^x．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足b_n=，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与-的大小．

Answer

（I）依题意可求得=3（ n≥2），再由2S1=2a1=a2-1，a1=1即可求得{an}是以1为首项3为公比的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（II）依题意可求得bn=（-），利用累加法可求得Tn，从而通过分类讨论即可比较Tn与-的大小．
【解析】
（I）∵-1，Sn，an+1成等差数列，
∴2Sn=an+1-1①
当n≥2时，2Sn-1=an-1②．
①-②得：2an=an+1-an，
∴=3．
当n=1时，由①得2S1=2a1=a2-1，又a1=1，
∴a2=3，故=3．
∴{an}是以1为首项3为公比的等比数列，
∴an=3n-1…（7分）
（II）∵f（x）=log3x，
∴f（an）=log3an==n-1，
bn===（-），
∴Tn=[（-）+（-）+…+（-）]
=（+--）
=-…（9分）
比较Tn与-的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）
2（n+2）（n+3）-312=2（n2+5n+6-156）=2（n2+5n+-150）=2（n+15）（n-10），
∵n∈N*，
∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即Tn＜-；
当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即Tn=-；
当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即Tn＞-．…（14分）