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函数f(x)=lnx,(a≠0) (1)b=2时,函数h(x)=f(x)-g(x...

函数f(x)=lnx,manfen5.com 满分网(a≠0)
(1)b=2时,函数h(x)=f(x)-g(x)存在减区间,求a的取值范围
(2)函数f(x)的图象与函数g(x)的图象交于P,Q两点,过PQ中点作x轴的垂线l,l与曲线y=f(x),y=g(x)分别交于M,N点,设曲线y=f(x)在M处的切线为l1,曲线y=g(x)在N处的切线为l2,证明l1∥l2
(1)把b=2代入可得,而函数h(x)=f(x)-g(x)存在减区间等价于<0在x>0时解集非空集,分类讨论可得; (2)假设存在0<x1<x2使l1∥l2,即,从而有=,由导数法考虑t∈(0,1)的单调性可得. 【解析】 (1)当b=2时,, 函数h(x)=f(x)-g(x)存在减区间,等价于<0,在x>0时解集非空集, 即关于x的不等式ax2+2x-1>0(a≠0)有解, 当a>0时,ax2+2x-1>0显然有解; 而当a<0时,只需△=4+4a>0,解得-1<a<0, ∴a的取值范围为:a>0或-1<a<0              …(7分) (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),设0<x1<x2,由题意可得M、N的横坐标, 则M点处的导数值为,N点处的导数值为, 假设存在0<x1<x2使l1∥l2,即, ∴==f(x1)-f(x2)=, 假设(*),…(10分) 考虑t∈(0,1)的单调性, ∵ 可知h(t)是t∈(0,1)的增函数(也是R+上增函数),故h(t)<h(1)=0, 因此 , 此结论与题设(*)矛盾, ∴l1∥l2…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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