Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长AA₁=2．
（1）E为棱CC₁的中点，求证：B₁D₁⊥AE；   
（2）求二面角C-AE-B的平面角的正切值．

Answer

（1）连接A1C1，根据正方体的结构特征得到A1C1是AE在平面A1C1上的射影，进而根据三垂线定理得到B1D1⊥AE．
（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF，可得∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，根据相似三角形性质求出OF后，解三角形BOF即可，得到二面角B-AE-C的平面角
证明：（1）连接A1C1，
∵AA1⊥平面A1C1，
∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影，
在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AE
【解析】
（2）连接BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，BO=AO=AC=
在Rt△ACE中，AE=3，
∵△AOF∽△AEC，
∴=
∴OF==
在Rt△BOF中，tan∠BFO==3