Question

已知定点F（2，0），直线l：x=-2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l₁过点F与曲线C交于A、B两个不同点，求证：=；
（3）记与的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的最小值．

Answer

（1）确定向量的坐标，利用，得=0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合+=+，即可证得结论；
（3）确定=（x1，y1），=（x2，y2），利用，可求cosθ的取值范围．
（1）【解析】
设动点P（x，y）．依据题意，可得
． （3分）
又，
于是，，即y2=8x（x≥0）． （6分）
因此，所求动点P的轨迹方程为C：y2=8x（x≥0）．
（2）证明：∵直线l1过F点且与曲线C交于不同的A、B两点，
∴l1的斜率不为零，故设l1：x=my+2．                           （7分）
联立方程组得y2-8my-16=0．（8分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，进一步得（10分）
又∵曲线C：y2=8x（x≥0）的准线为：x=-2，
∴左边====右边． （12分）
∴．证毕！
（3）【解析】
由（2）可知，．
∴==（当且仅当m=0时，等号成立）． （16分）
∴．                                                              （18分）