Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N^*，证明：T_n-8=a_n-1b_n+1（n∈N^*，n≥2）．

Answer

（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
（2）先借助于错位相减法求出Tn的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，
由a4+b4=27，S4-b4=10，得方程组，
解得，
所以：an=3n-1，bn=2n．
（2）证明：由第一问得：Tn=2×2+5×22+8×23+…+（3n-1）×2n；   ①；
2Tn=2×22+5×23+…+（3n-4）×2n+（3n-1）×2n+1，②．
由①-②得，-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-（3n-1）×2n+1
=-（3n-1）×2n+1-2
=-（3n-4）×2n+1-8．
即Tn-8=（3n-4）×2n+1．
而当n≥2时，an-1bn+1=（3n-4）×2n+1．
∴Tn-8=an-1bn+1（n∈N*，n≥2）．