Question

如图，在等腰梯形ABCD中，上底CD=3，下底AB=4，E、F分别为AB、CD中点，分别沿DE、CE把△ADE与△BCE折起，使A、B重合于点P．

（1）求证：PE⊥CD；
（2）若点P在面CDE的射影恰好是点F，求EF的长．

Answer

（1）连接PF，证明CD⊥面PEF，利用线面垂直的性质，可得PE⊥CD；
（2）证明PF⊥面CDE于F，可得PF⊥EF，分别计算PC，BC，利用PC=BC，即可求EF的长．
（1）证明：连接PF，∵F、E分别是等腰梯形上、下两底的中点，∴EF⊥CD．
又∵AD=BC，即PD=PC且F为CD的中点，∴PF⊥CD．
又EF，PF⊂面PEF，EF∩PF=F，∴CD⊥面PEF．
又PE⊂面PEF，∴PE⊥CD．
（2）【解析】
若点P在面CDE的射影恰好是点F，即PF⊥面CDE于F，EF⊂面CDE，所以，PF⊥EF
设EF=x，由已知EF为等腰梯形的高，且PE⊥CF
∵PE=BE=AB=2，∴PF=
∵CF=CD=，∴PC==
在等腰梯形ABCD中，BC==
∵PC=BC，∴=，∴x=，
∴EF的长为．