Question

给出下列四个命题：
①若对于∀x∈R，有f（x-1）=f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
②若函数f（x）是奇函数，则函数f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；
③若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（1，0）对称；
④函数y=f（x-1）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③④

Answer

若f（x-1）=f（x+1），则f（x）=f（x+2），根据函数周期性的定义，可判断①的真假；
根据奇函数图象的对称性及函数图象平移变换法则，可判断②的真假；
若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，则f（x）=-f（2-x），根据函数图象的对称性，可判断③的真假；
根据函数图象的对称变换法则，可判断④的真假．
【解析】
若对于∀x∈R，有f（x-1）=f（x+1），则f（x）=f（x+2），则函数f（x）是以2为周期的周期函数，故①错误；
若函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，函数f（x-1）的图象，是把函数f（x）的图象向右平移一个单位，他关于（1，0）对称，故②正确；
若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，则f（x）=-f（2-x），则函数y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，故③正确；
函数y=f（x-1）的图象与y=f（-x-1）的图象关于y轴对称，故④错误
故选B