Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函数g（x）的单调减区间为（-，1），求函数g（x）的解析式；
（2）如果函数g（x）在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
（3）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．
（2）若函数g（x）在区间上是减函数，则g′（x）＜0在区间上恒成立，利用二次函数的图象和性质可求出实数a的取值范围．
（3）已知条件可以转化为a≥lnx-x-恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵函数g（x）的单调减区间为（-，1），
∴g′（x）=3x2+2ax-1由题意3x2+2ax-1＜0的解集是（-，1）
即3x2+2ax-1=0的两根分别是-，1．
将x=1或-代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x3-x2-x+2．（4分）
（2）∵函数g（x）在区间上是减函数，
∴g′（x）=3x2+2ax-1＜0在区间上恒成立
即g′（-）=3（-）2+2a（-）-1≤0，且g′（）=3（）2+2a（）-1≤0，
解得-1≤a≤
（3）g′（x）=3x2+2ax-1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-x-恒成立 ①（9分）
设h（x）=lnx-x-，则h′（x）=-+=-
令h′（x）=0得：x=1，x=-（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，则a≥-2，
即a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）