Question

（1）证明：AB⊥A₁C
（2）求二面角A₁-BC-A的余弦值．

Answer

（1）根据AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°，可知AB⊥AC，而A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，根据线面垂直的性质可知AB⊥A1A，又AC∩A1A=A，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面A1ACC1，又A1C⊂平面A1ACC1，从而AB⊥A1C；
（2）以A为坐标原点，AB，AC，AA1，分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标，分别求出平面ABC的一个法向量和平面A1BC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
证明：（I）∵AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°
∴AB⊥AC
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中
∴A1A⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC
∴AB⊥A1A，又AC∩A1A=A
∴AB⊥平面A1ACC1，而A1C⊂平面A1ACC1，
∴AB⊥A1C；
【解析】
（II）建立如图所示的空间坐标系
由AB=1，AC=AA1=，得
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A1（0，0，）
由A1A⊥平面ABC，可得=（0，0，）是平面ABC的一个法向量
设=（x，y，z）是平面A1BC的一个法向量，由=（-1，，0），=（1，0，-）
可得，即
令x=，则=（，1，1）
设二面角A1-BC-A的平面角为θ
则cosθ===