Question

在数列{a_n}中，，．数列{b_n}满足，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为S_n．若对于任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由数列{an}中，，．数列{bn}满足，且 an=tanbn（n∈N*）．易得，．
（2）由，an=tanbn，结合同角三角函数关系，可得 ，进而确定数列{bn}的首项和公比，代入等比数列通项公式，可得答案．
（3）由（2）中数列的通项，求出数列的前n项和，分n是奇数和n是偶数两种情况进行讨论，综合讨论结果可得答案．
【解析】
（1）依题意得 ，，
又 a1=tanb1，a2=tanb2，且 ，
所以 ，．
（2）因为 ，an=tanbn，且 ，
所以 ．
所以 ．
所以 （n∈N*）．
因此数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．
所以 ．
（3）由 ，得 ．
由，得 （-1）nλ≤2n-1．
①当n是奇数时，λ≥1-2n．
由于上式对正奇数恒成立，故 λ≥-1．
所以，当n是奇数时，λ≥-1．
②当n是偶数时，λ≤2n-1．
由于上式对正偶数恒成立，故 λ≤3．
所以，当n是偶数时，λ≤3．